Numerical Reliability and CPU Time for the Mixed Methods applied to Flow Problems in Porous Media

This work is devoted to the numerical reliability and time requirements of the Mixed Finite Element (MFE) and Mixed-Hybrid Finite Element (MHFE) methods. The behavior of these methods is investigated under the influence of two factors: the mesh discretization and the medium heterogeneity. We show that, unlike the MFE, the MHFE ”suffers” with the presence of flatted triangular elements. A numerical reliability analyzing software (Aquarels) is used to detect the instability of the matrix-inversion code generated by MAPLE which is used in the MHFE code. We also show that the spectral condition number of the algebraic systems furnished by both methods in heterogeneous media grows up linearly according to the smoothness of the hydraulic conductivity. Furthermore, it is found that the MHFE could accumulate numerical errors if the conductivity varies abruptly in space. Finally, we compare running-times for both algorithms by giving various numerical experiments. Key-words: elliptic/parabolic problems, flow in porous media, mixed and mixedhybrid methods, functional stability, symbolic programming. ∗ Institut de Mécanique des Fluides et des solides, Univ. Louis Pasteur de Strasbourg, CNRS/MUR 7507, 2 rue Boussingault, 67000 Strasbourg. in ria -0 00 72 39 1, v er si on 1 24 M ay 2 00 6 Fiabilité numérique et temps CPU requis par les méthodes mixtes appliquées aux problèmes d’écoulement en milieux poreux Résumé : Ce travail porte sur la fiabilité numérique et le temps d’exécution des méthodes des Eléments Finis Mixtes (EFM) et des Eléments Finis Mixtes Hybrides (EFMH). Le comportement de ces méthodes est étudié sous l’influence de deux facteurs: la discrétisation spatiale et l’hétérogénéité du milieu. Nous prouvons que, contrairement à la méthode des EFM, la méthode des EFMH ”souffre” en présence d’éléments triangulaires très aplatis. Un atelier pour la fiabilité numérique (Aquarels) est employé pour détecter l’instabilité du code d’inversion de matrice généré par MAPLE qui est utilisé dans le code EFMH. Nous prouvons également que le conditionnement des systèmes algébriques fournis par les deux méthodes dans des milieux hétérogènes croit linéairement selon le contraste des conductivités hydrauliques. En outre, nous observons que la méthode des EFMH peut accumuler des erreurs numériques inacceptables si la conductivité varie brutalement en espace. Enfin, nous comparons le temps d’exécution des deux algorithmes en effectuant diverses expériences numériques. Mots-clés : problèmes elliptiques/paraboliques, écoulement en milieu poreux, éléments finis mixtes et mixtes hybrides, stabilité fonctionnelle, programmation symbolique. in ria -0 00 72 39 1, v er si on 1 24 M ay 2 00 6 Mixed and Mixed-Hybrid methods 3